Batterie, Gewährleistung

[Nicky]

Hatte Batterieprobleme, der Wagen orgelte u. sprang erst nach mehreren Versuchen an.
Daraufhin Batterie ersetzen lassen. Das Problem blieb, so dass ich davon ausgegangen bin, dass es ein anderer Fehler sein muss. Nach längerem Stehen wg. Corona, aber mit abgeklemmter Batterie im Winter, längere AB-Fahrt gemacht, damit die Batterie wieder aufgeladen wird. Nach einer dieser Fahrten ist der Twingo aber am übernächsten Tag gar nicht mehr angesprungen, Pannendienst gekommen u. Batterie gestartet, nicht weit gekommen, Wagen gestottert u. ausgegangen, Abschleppdienst, Batterie defekt, nach Test. Batterie ersetzt, seitdem keine Startprobleme mehr.

Es ist also klar, dass die erste, ersetzte Batterie von vornherein einen Schaden hatte.

Meine Frage:
Die Werkstatt, die die erste Batterie ersetzt hatte, will den Betrag nicht zurückerstatten (Gewährleistung, da Batterie nach 5, 5 Monaten kaputtgegangen war) u. verweist auf den Hersteller/Verkäufer, der die Batterie prüfen müsse, der sich aber nicht meldet u. die Sachlage aussitzt. Das ist jetzt fast 4 Monate her.
Wie sind die rechtlichen Bedingungen? Müsste die Werkstatt nicht den Betrag erstatten u. sich ihn vom Lieferanten zurückholen? Was habe ich für Möglichkeiten?
Ist es nicht so, dass die Werkstatt den Betrag zurückerstatten muss, weil der Defekt innerhalb der ersten 6 Monate nach dem Kauf eingetreten ist u. man deshalb davon ausgeht, dass der Defekt von vornherein vorlag, die Werkstatt beweisen müsste, das dem nicht so ist u. da sie das nicht kann, zahlen muss?

Danke!

LG Nicky